Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点的坐标分别为，两动点M、N满足，向量与共线．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，a）的直线与（1）的轨迹相交于E、F两点，求的取值范围．
（3）若G（-a，0），H（2a，0），θ为C点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ＞0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先设出点C的坐标，根据△ABC的重心的充要条件表示出点M的坐标，再根据点A和B坐标以及距离的关系求出点N的坐标，由两点之间的距离公式代入，进行化简求出点C的轨迹方程；
（2）由题意设出点E、F和直线的方程，联立直线方程和轨迹方程，消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理列出两根和以及积的式子，由判别式的符号求出k2-3的范围，根据向量数量积的坐标运算列出关于k的式子，根据求出的范围，即求出的范围；
（3）设出Q的坐标并代入轨迹方程，由特殊情况QH⊥x轴求出λ的值，根据点G和H坐标求出两个角的正切值，由两个角的范围和正切值进行判断是否成立．
（1）设C（x，y），由知，
∴M是△ABC的重心，∴．
∵且向量与共线，∴N在边AB的中垂线上，
∵，∴，
又∵，∴，化简得，
即所求的轨迹方程是．
（2）设E（x1，y1）、F（x2，y2），过点P（0，a）的直线方程为y=kx+a，
代入得（3-k2）x2-2akx-4a2=0，
∴，且△=4a2k2+16a2（3-k2）＞0，解得k2＜4．
∴k2-3＜1，则或，
∴
=，
则的取值范围是（-∞，4a2）∪（20a2，+∞）．
（3）设Q（x，y）（x＞0，y＞0），则，即y2=3（x2-a2）．
当QH⊥x轴时，x=2a，y=3a，∴∠QGH=，即∠QHG=2QGH，故猜想λ=2．
当QH不垂直x轴时，tan∠QHG=QGH=，
∴tan2∠QGH==．
又2∠QGH与∠QHG同在内，
∴2∠QGH=∠QHG．
故存在λ=2，使2∠QGH=∠QHG恒成立．