Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，，点M是侧棱SC的中点．
（Ⅰ）求证：SD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大小．

Answer

（Ⅰ）欲证SD⊥平面ABCD，可根据面面垂直的性质可知只需证明平面SDC⊥底面ABCD，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，满足面面垂直的判定定理的条件；
（Ⅱ）以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建系D-xyz，然后求出平面CAM的一个法向量和平面AMB的一个法向量，求出两法向量所成角即为二面角C-AM-B的平面角．
证明：（Ⅰ）因为DC=SD=2，，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD⊂平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．
【解析】
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DCSD⊥AD，又AD⊥DC，建系D-xyz．
于是，，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），，，
设为平面CAM的一个法向量，
则，得
又，设为平面AMB的一个法向量，
则，得
因为，所以二面角C-AM-B为：