Question

设抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离是2．
（Ⅰ）求此抛物线方程；
（Ⅱ）设点A，B在此抛物线上，点F为此抛物线的焦点，且，若λ∈[4，9]，求直线AB在y轴上截距的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据焦点到准线的距离求得p，则抛物线方程可得．
（Ⅱ）设出直线AB的方程与抛物线方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x1，y1）根据韦达定理可表示出x1+x2和x1•x2，根据，进而求得x2=λ2•x1，进而根据x1•x2=1，消去x2，求得x1和x2，代入x1+x2中，求得λ和k的关系式，根据在[4，9]上递增，进而求得y的范围进而求得k的范围，进而求得直线在x轴上的截距的范围可得．
【解析】
（Ⅰ）因为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点到准线的距离p=2
所以此抛物线方程为y2=4x
（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在．F（1，0），设直线AB的方程为y=k（x-1）
由消y，整理得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0
△=（2k2+4）2-4k4=16k2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x1，y1）则，x1•x2=1
因为，所以（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），于是
由y2=-λy1，得y22=λ2y12⇒4x2=λ2•4x1⇒x2=λ2•x1，
又x1•x2=1，
消x2得λ2•x12=1，
因为x1＞0，所以，从而，x2=λ．
代入得，，
令，
因为在[4，9]上递增，
所以，即，
于是，，或
所以直线AB在y轴上截距的取值范围为：．