Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=a_n+1-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S_n+λ•n-λ•2ⁿ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
（Ⅲ）求证：．

Answer

（Ⅰ）由题设条件知（n≥2），a2=S1+1=a1+1=2，由此可知an=2n-1．
（Ⅱ）若{Sn+λ•n-λ•2n}为等差数列，则S1+λ-2λ，S2+2λ-4λ，S3+3λ-8λ则成等差数列，由此能推出λ=1．由此可知存在实数λ=1，使得数列{Sn+λ•n-λ•2n}成等差数列．
（Ⅲ）由入手，可得证．
解析：（Ⅰ）∵an+1-Sn-1=0①
∴n≥2时，an-Sn-1-1=0②
①─②得：
（n≥2）（2分）
由an+1-2Sn-1=0及a1=1得a2-S1-1=0⇒a2=S1+1=a1+1=2
∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴an=2n-1（4分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知（5分）
若{Sn+λ•n-λ•2n}为等差数列，
则S1+λ-2λ，S2+2λ-4λ，S3+3λ-8λ则成等差数列，（6分）
∴（S1-λ）+（S3-5λ）=2（S2-2λ）⇒8-6λ=6-4λ，∴λ=1（8分）
当λ=1时，Sn+λ•n-λ•2n=Sn+n-2n=n-1，显然{n-1}成等差数列，
∴存在实数λ=1，使得数列{Sn+λ•n-λ•2n}成等差数列．（9分）
解法二：由（Ⅰ）知（5分）
∴Sn+λ•n-λ•2n=（2n-1）+λ•n-λ•2n=λ•n-1+（1-λ）•2n（7分）
要使数列{Sn+λ•n-λ•2n}成等差数列，则只须1-λ=0，即λ=1即可．（8分）
故存在实数λ=1，使得数列{Sn+λ•n-λ•2n}成等差数列．（9分）
（Ⅲ）∵（10分）
∴
=
=（12分）
∵，
∴，
∴（14分）