Question

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离． D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为θ．
（Ⅰ）将tanθ表示为x的函数；
（Ⅱ）求点D的位置，使θ取得最大值．

Answer

（Ⅰ）过A分别作直线CD，BC的垂线，求出AE，在直角三角形中，设CD=x，利用三角函数tan∠BCD，讨论x的取值范围得到tan∠ADC有两种情况求得结果一样，而tanθ等于tan∠ADC-tan∠BDC，利用正切公式tan（α-β）=求出其值即可．
（Ⅱ）根据当且仅当a=b时取等号的方法，求出tanθ的最大值，根据正切函数是单调增函数得到x的值表示出D的位置即可．
【解析】
（Ⅰ）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．由题可知，AB=4.5，BC=4，∠ABF=90°-60°=30°，
所以CE=AF=4.5×sin30°=，BF=4.5×cos30°=，AE=CF=BC+BF=．
因为CD=x（x＞0）．所以tan∠BDC==．
当x＞时，ED=x-，tan∠ADC===（如图1）．
当0＜x＜时，ED=-x，tan∠ADC==（如图2）．
所以tanθ=tan∠ADB=tan（∠ADC-∠BDC）===，其中x＞0且x≠．
当x=时，tanθ==，符合上式．
所以tanθ=．x＞0

图1图2

（Ⅱ）tanθ==，x＞0．
因为4（x+4）+-41≥2=39，当且仅当4（x+4）=，即x=6时取等号．
所以当x=6时，4（x+4）+-41取最小值39．
所以当x=6时，tanθ取最大值．
由于y=tanx在区间（0，）上是增函数，所以当x=6时，θ取得最大值．
答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．