Question

已知f（x）=log₂x，当点M（x，y）在y=f（x）的图象上运动时，点N（x，ny）在函数y=g_n（x）的图象上运动（n∈N）．
（1）求y=g_n（x）的解析式；
（2）求集合A={a|关于x的方程g₁（x+2）=g₂（x+a）有实根，a∈R}；
（3）设，函数F（x）=H₁（x）-g₁（x），（0＜a≤x≤b）的值域为，
求证：．

Answer

（1）由于f（x）=log2x，点N（x，ny）又在函数y=gn（x）的图象上运动（n∈N）．所以，直接代入即可；
（2）关于x的方程g1（x+2）=g2（x+a）有实根，即有实根，实质是求函数y=的值域；
（3）函数F（x）=H1（x）-g1（x），（0＜a≤x≤b）的值域为，故此，本问题只需判断出函数F（x）在[a，b]上的单调性即可求解a，b．
【解析】
（1）由条件知，又f（x）=log2x∴解析式gn（x）=nlog2x．
（2）∵方程g1（x+2）=g2（x+a），即，
∴求集合A就是求方程有实根时a的范围．
而，
∴时原方程总有实根，

∴集合．

（3）∵，
又在[a，b]上递减，
∴，即①，
由与y=log2x的图象只有唯一交点知：方程只有唯一解，
经检验是方程组①的唯一解，故得证．