Question

如图，已知双曲线的右准线交x轴于A，虚轴的下端点为B，过双曲线的右焦点F（c，0）作垂直于x轴的直线交双曲线于P，过点A、B的直线与FP相交于点D，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若a=2，过点（0，-2）的直线l交该双曲线于不同两点M、N，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意可分别表示出点A、B、P、F的坐标，则直线AB的方程可表示出，把x=c代入求得y，则d点坐标可得，根据，可知，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则双曲线离心率可得．
（Ⅱ）根据（1）中a和b的关系式根据a可求得b，则双曲线方程可得，设出直线l的方程与双曲线方程联立消去y，根据根据判别式求得k的范围，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，进而表示出，根据k的范围确定其取值范围．
【解析】
（Ⅰ）点A、B、P、F的坐标分别为，B（0，-b），，F（c，0），
直线AB的方程为，令x=c，则，知，
∵，∴，则，∴a=2b，
∴．

（Ⅱ）∵a=2，∴b=1，双曲线的方程是，知直线l的斜率存在，
设直线l方程为y=kx-2，联立方程组
得（1-4k2）x2+16kx-20=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
由解得且．
∴，．=，
∵且，∴，
则的范围是．