Question

已知数列{a_n}中，，．
（1）求a₂，a₃；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设S_n为数列{a_n}的前n项和，证明：．

Answer

（1）由题中递推公式，及公式，代入a1，容易求出a2，a3．
（2）由，容易猜想：，需要用数学归纳法证明．
（3）由变形为：，由sinx≤x得：；
所以数列：=，前n项和．即证．
【解析】

1）因为，由递推公式和公式
得：
．
2）由（1）可归纳猜想：，
现用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设n=k（k∈N*）时成立，即，
则：n=k+1时：=；
所以，n=k+1时，猜想也成立．
故：由①②可知，对任意n∈N*，猜想均成立．
3）证明：设f（x）=x-sinx，
则f′（x）=1-cosx≥0，
∴f（x）=x-sinx在上是增函数．
∴f（x）≥f（0）=0，即sinx≤x．
又∵，
∴，
∴=．即证．