Question

一直线和直二面角的两个面所成的角分别是α，β，则α+β的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

这题可以从直线与平面的位置出发，分三种情况讨论：
①如果它与两个平面都相交，那么它和两个平面的角，恰是直角三角形的两个锐角．通过比较三角函数值，可以得到：α+β＜90°
②如果这直线与两个半平面都平行，那么它与两个面的角都是0°，故α+β=0°．
③如果它只与一个面垂直，那么它与一个面的角是90°，而与另一个面的角是0°，故α+β=90°．
【解析】

①若此直线与两个平面都相交，则：
设线段AB夹在直二面角α-l-β内，A∈α，B∈β，且设AB与平面α、β所成的角分别为α和β，
过A在α内做AC垂直于l于C点，过B在β内做BD垂直于l于D点．
在β内做BE平行l，在β内做CE平行BD，交点为E，连接AE，AD，BC
则∠DAB=α，∠ABC=β，∠ABC的正弦值=AC/AB，∠ABD的正弦值=AD/AB
∵AD＞AC，∴∠ABC＜∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，所以α+β＜90°
②当AB与l平行时：α+β=0°
③当AB与l垂直时：α+β=90°
综上所述：0°≤α+β≤90°
故选D