Question

如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，侧面AB₁与侧面AC₁所成的二面角为60°，M为AA₁上的点，∠A₁MC₁=30°，∠CMC₁=90°，AB=a．
（1）求BM与侧面AC₁所成角的正切值；
（2）求顶点A到面BMC₁的距离．

Answer

建立空间坐标系，求出各点的坐标，
（1）求出线BM方向向量与面AC1的法向量．由公式求出线面角的正弦，再求余弦．算出正切即可
（2）求出向量MA的坐标，平面MBC1的法向量，求出向量MA在平面MBC1的法向量上的投影的长度，此即顶点A到面BMC1的距离
【解析】
由题知AC=a，BC=a，A1M=a，MC1=a，AM=a，故棱柱的高CC1=a，
以C1为原点，C1A1所在直线为x轴，C1B1所在直线为y轴建立空间坐标系，
则C1（0，0，0），A1（a，0，0），B1（0，a，0），C（0，0，a），
A（a，0，a），B（0，a，a），M（a，0，a）
（1）面AC1法向量为=（0，a，0），=（a，-a，-a）
故线面角的正弦为sinθ==，cosθ=，tanθ=
故所求线面角的正切为．
（II）由已知=（a，0，a），=（0，a，a）
设面C1MB的法向量为=（x，y，z）
则∴即
令x=1，则z=-，y=-z=
故=（1，-，）
又=（0，，0），
故点A到面C1MB的距离为d===a．
即A到面C1MB的距离为a．