Question

下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是_____①④_．（写出所有真命题的编号）

Answer

从正三棱锥的定义出发，结合正三棱锥的性质，对选项逐一判断，即可解答．
【解析】
对于①，设四面体为D-ABC，过棱锥顶点D作底面的垂线DE，过E分别作AB，BC，CA边的垂线，
其垂足依次为F，G，H，连接DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE分别为各侧面与底面所成的角，
所以∠DFE=∠DGE=∠DHE，于是有FE=EG=EH，DF=DG=DH，故E为△ABC的内心，
又因△ABC为等边三角形，所以F，G，H为各边的中点，
所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，故DA=DB=DC，
故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．
对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两腰，所以为假命题．
对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．
对于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．
综上，①④为真命题．
故答案为：①④