Question

若关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a²+a+1（x∈R）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-1，2）
B．（-∞，-1）∪（2，+∞）
C．（-2，1）
D．（-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer

欲使得：“关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立”，只须a2+a+1小于左式的最小值即可，故问题转化为先求左式的最小值，再解一个不等式即可．
【解析】
∵关于x的不等式|x-1|+|x+2|＞a2+a+1（x∈R）恒成立，
∴（|x-1|+|x+2|）的最小值＞a2+a+1，
又|x-1|+|x+2|≥|x-1-（x+2）|=3，
∴a2+a+1＜3，
解之得：a∈（-2，1）．
故选C．