Question

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的x≥0，都有．

Answer

（Ⅰ）利用导数的符号求出函数的单调区间，使导数大于0的区间就是函数的增区间，使导数小于0的区间就是函数的减区间．
（Ⅱ）令，利用导数F'（x）≤0，可得因而F（x）在[0，+∞）上递减，
对于∀x≥0，都有F（x）≤F（0）=0，不等式得到证明．
【解析】
（1）由已知得，（2分）
令f'（x）＞0，得2cosx+1＞0，即，
解得（4分）
令f'（x）＜0，得2cosx+1＜0，即，
解得（6分）
故单增区间为，
单减区间为．（k∈Z）
（2）令，
则，（8分）
故对于∀x≥0，都有F'（x）≤0因而F（x）在[0，+∞）上递减，（10分）
对于∀x≥0，都有F（x）≤F（0）=0
因此对于∀x≥0，都有（12分）