Question

已知数列{a_n}的通项公式为
设．证明：当．

Answer

由已知得，，故，，由错位相减法知．故，问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2n，再用数学归纳法证明．
【解析】
由已知得，，
故，（2分）
（3分）
（4分）
两式相减得，（5分）
化简得．故（7分）
因而
问题转化为证明：当n≥6时，n（n+2）＜2n，（9分）
采用数学归纳法．
（1）当n=6时，n（n+2）=6×8=48，2n=26=64，48＜64，
此时不等式成立，（10分）
（2）假设n=k（k≥6）时不等式成立，即k（k+2）＜2k，（11分）
那么当n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k（k+2）=2k2+4k=k2+4k+k2＞k2+4k+3=（k+1）（k+3）=（k+1）[（k+1）+2]
这说明，当n=k+1时不等式也成立（13分）
综上可知，当n≥6时，n（n+2）＜2n成立，原命题得证．（14分）