Question

已知椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，两条准线间的距离为6．椭圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C．
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）求证：（λ∈R）；
（Ⅲ）求△MBC面积S的最大值．

Answer

（Ⅰ）根据离心率，准线和a，b和c的关系，联立方程求得a，b和c．椭圆的方程可得．
（Ⅱ）根据准线方程可求得M的坐标．于是可设直线l的方程为y=k（x+3），点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点C的坐标为（x1，-y1），y1=k（x1+3），y2=k（x2+3）．进而根据椭圆的第二定义得，判断出B，F，C三点共线，
（Ⅲ）根据三角形面积公式求得S的表达式，根据k的范围确定S的范围．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，c=2，，
所以椭圆W的方程为．
（Ⅱ）因为左准线方程为，所以点M坐标为（-3，0）．
于是可设直线l的方程为y=k（x+3），点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则点C的坐标为（x1，-y1），y1=k（x1+3），y2=k（x2+3）．
由椭圆的第二定义可得，
所以B，F，C三点共线，即．
（Ⅲ）由题意知==|MF|；
又由M（-3，0），F（-2，0），则|MF|=1，
则S==，
当且仅当时“=”成立，
所以△MBC面积S的最大值为．