Question

如图所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长均为a，D是侧棱CC₁的中点．
（1）求证：平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁；
（2）求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB₁D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．

Answer

（1）取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．证明DE的平行线CF垂直平面ABB1A1，内的相交直线AB，BB1，即可证明平面AB1D⊥平面ABB1A1；
（2）建立空间直角坐标系，求出中的相关向量，直接求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；
（3）求平面AB1D的一个法向量，以及平面ABC的一个法向量，利用向量的数量积求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小．
【解析】
（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连接DE、EF、CF．
故．又．
∴四边形CDEF为平行四边形，∴DE∥CF．又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱．
△ABC为正三角形．CF⊂平面ABC，
∴CF⊥BB1，CF⊥AB，而AB∩BB1=B，∴CF⊥平面ABB1A1，
又DE∥CF，∴DE⊥平面ABB1A1．
又DE⊂平面AB1D．所以平面AB1D⊥平面ABB1A1．（4分）

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则
设异面直线AB1与BC所成的角为θ，则，
故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为，

（3）由（2）得，
设n=（1，x，y）为平面AB1D的一个法向量．
由得，，
即（6分）
显然平面ABC的一个法向量为m（0，0，1）．
则，故．
即所求二面角的大小为．（14分）