Question

证明以下命题：
（1）对任一正整a，都存在整数b，c（b＜c），使得a²，b²，c²成等差数列．
（2）存在无穷多个互不相似的三角形△_n，其边长a_n，b_n，c_n为正整数且a_n²，b_n²，c_n²成等差数列．

Answer

（1）要证a2，b2，c2成等差数列，考虑到结构即要证a2+c2=2b2，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．类似勾股数进行拼凑．
（2）结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷．
解（1）考虑到结构特征，取特值12，52，72满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立．
（2）证明：当an2，bn2，cn2成等差数列，则bn2-an2=cn2-bn2，
分解得：（bn+an）（bn-an）=（cn+bn）（cn-bn）
选取关于n的一个多项式，4n（n2-1）做两种途径的分解4n（n2-1）=（2n-2）（2n2+2n）=（2n2-2n）（2n+2）4n（n2-1）
对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边．
下证互不相似．
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例，
由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似．