Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量=（sinB，1-cosB），=（sinB，cosB），且•=0．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求证：b²≥3ac．

Answer

（Ⅰ）根据平面向量的数量积的运算法则，利用和的坐标表示及•=0，得到一个关系式，利用同角三角函数间的基本关系可化为关于cosB的一元二次方程，求出方程的解即可得到cosB的值，然后根据B的范围得到满足题意的cosB的值；
（Ⅱ）由（I）求得的cosB的值，利用余弦定理表示出cosB得到一个关系式，利用基本不等式即可得证．
【解析】
（I）∵=（sinB，1-cosB），=（sinB，cosB），又•=0，
∴sin2B+cosB-cos2B=0．
∴2cos2B-cosB-1=0．
解得cosB=-或cosB=1（舍）．
∵0＜B＜π，
∴cosB=-．

（II）由（I）可知cosB=-，
∴．
即b2=a2+c2+ac．
又∵a2+c2≥2ac，
∴b2≥3ac．