Question

已知数列{a_n}中，前n项和为S_n，点（a_n+1，S_n+1）在直线y=4x-2，其中n=1，2，3…，
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1，求证数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）令f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ，求函数f（x）在点x=1处的导数f′（1）并比较f′（1）与6n²-3n的大小．

Answer

（I）由点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2上，知Sn+1=4an+2．所以an+2=4an+1-4an．再由bn=an+1-2an，知bn+1=2bn．上此知数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
（II）由bn=3•2n-1，f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，知f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1．从而f′（1）=b1+2b2+…+nbn=3（1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1）．Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1，由错位相减法知Tn=（n-1）•2n+1．f′（1）=3（n-1）•2n+3．由f′（1）-（6n2-3n）=3[（n-1）•2n+1-2n2+n]能推导出f′（1）＞6n2-3n．
【解析】
（I）由已知点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2上．
∴Sn+1=4（an+1）-2．
即Sn+1=4an+2．（n=1，2，3，）
∴Sn+2=4an+1+2．
两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an．
即an+2=4an+1-4an．（3分）
an+2-2an+1=2（an+1-2an）．
∵bn=an+1-2an，（n=1，2，3，）
∴bn+1=2bn．
由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1．
解得a2=5，b1=a2-2a1=3．
∴数列{bn}是首项为3，公式为2的等比数列．（6分）
（II）由（I）知bn=3•2n-1，
∵f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，
∴f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1．
从而f′（1）=b1+2b2+…+nbn
=3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1
=3（1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1）（8分）
设Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1，
2Tn=2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n．
两式相减，得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n
=．
∴Tn=（n-1）•2n+1．
∴f′（1）=3（n-1）•2n+3．（11分）
由于f′（1）-（6n2-3n）=3[（n-1）•2n+1-2n2+n]
=3（n-1）[2n-（2n+1）]．
设g（n）=f′（1）-（6n2-3n）．
当n=1时，g（1）=0，∴f′（1）=6n2-3n；
当n=2时，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n2-3n；
当n≥3时，n-1＞0，又2n=（1+1）n=Cn+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2＞2n+1，
∴（n-1）[2n-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，从而f′（1）＞6n2-3n．（14分）