Question

已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．

Answer

（Ⅰ）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ-），利用偶函数的性质即f（x）=f（-x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x=代入即可．
（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调区间．
【解析】
（Ⅰ）==．
∵f（x）为偶函数，
∴对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴．
即，
整理得．
∵ω＞0，且x∈R，所以．
又∵0＜φ＜π，故．
∴．
由题意得，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴．
（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．
∴．
当（k∈Z），
即（k∈Z）时，g（x）单调递减，
因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．