Question

如图，己知正四棱棱柱AC₁中，AB=BC=1，BB₁=2，连接B₁C和A₁C
（1）在线段CC₁上求一点E使得A₁C⊥面BED（即求出CE的长）；
（2）求点A到平面A₁B₁C的距离；
（3）求直线DE与平面A₁B₁C所成角的正弦值．

Answer

法一：（1）由题设知，欲使得段CC1上求一点E使得A1C⊥面BED，又B1C是A1C在外侧面上的投影，故必有B1C⊥BE，可证得△BCB1～△BCE，进而可求得CE：BC=1：2，求出CE的值．
（2）点A到平面A1B1C的距离可转化为点B到平面A1B1C的距离，即求BF；
（3）连接DF可证得∠EDF就是DE与平面A1B1C所成角，正弦值易求
法二：本题具备建立空间坐标系的条件，故可用空间向量法求解
（1）证A1C⊥面BED问题可转化为A1C与平面的法向量共线的问题，
（2）点A到平面A1B1C的距离转化成向量BC在平面法向量上的投影的长度来解决；
（3）求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值可转化为求DE与平面法向量的余弦的绝对值问题．
【解析】
法一：（1）∵A1C⊥面BED，∴A1C⊥BE，
由A1B1⊥面BB1C1C知，A1C为面BB1C1C的斜线，B1C为其射影，∴B1C⊥BE．
∵△BCB1～△BCE，∴．
（2）可以证明AB∥面A1B1C，所以点A到平面A1B1C的距离与点B到平面A1B1C的距离相等；
又BE⊥A1C，BE⊥B1C，∴BE⊥面A1B1C，∴线段BF的长就是所求的距离．在△BCB1中可以求得．
（3）连接DF有（2）知EF⊥面A1B1C，所以∠EDF就是DE与平面A1B1C所成角．在△BCE中求得，
△DCE中求得，∴．
法二：本题还可以用向量法求解如下：
（1）根据正四棱棱柱性质，建立空间直角坐标系A-xyz，
B（1，0，0），D（0，1，0），C（1，1，0），B1（1，0，2），A1（0，0，2）．
设E（1，1，z），
∵A1C⊥面BED，
∴A1C⊥BE，∴，
∴（1，1，-2）•（0，1，z）=0，
∴．
（2）由（1）可以证明BE⊥面A1B1C，所以=就是面A1B1C的法向量，
所以点A到平面A1B1C的距离．
（3）设直线DE与平面A1B1C所成角为θ，则．