Question

（理）已知函数f（x）=αx³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，且在f′（x）_min=-1（x∈R），．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若函数f（x）的图象与函数m（x）=nx²-2x的图象有三个不同的交点，且都在y轴的右方，求实数n的取值范围；
（3）若g（x）与f（x）的表达式相同，是否存在区间[a，b]，使得函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，若存在，求出满足条件的一个区间[a，b]；若不存在，说明理由．

Answer

（1）f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数，可得f（-x）=-f（x）恒成立得到b=d=0，由知f'（3）=8；又f'（x）min=-1（x∈R）求得a，c得到解决；
（2）由题意方程=nx2-2x即x（x2-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x2-3nx+3=0有两个不同的正根；
（3）假设存在，由函数g（x）的定义域和值域都是[a，b]，不妨取函数y=x，再由和f'（x）=x2-1=0．有函数f（x）在，上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．找到满足条件的区间[α，β]即可．
【解析】
（1）f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）为奇函数⇔f（-x）=-f（x）恒成立⇔b=d=0，f'（x）=3ax2+c，
由，知f'（3）=8；又f'（x）min=-1（x∈R），
∴c=-1，，
∴．
（2）由题意方程=nx2-2x即x（x2-3nx+3）=0有三个不同的非负根，即x2-3nx+3=0有两个不同的正根，
∴⇔．
（3）假设存在，由得x=0或x=±．
令f'（x）=x2-1=0得x=±1，当或时f'（x）＞0；
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴函数f（x）在，上单调递增，在x∈（-1，1）上单调递减．
∴f（x）在上的极大值和极小值分别为，，而．
所以存在满足条件的区间[α，β]，如x∈，y∈．