Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n，记D_n内的整点个数为a_n（n∈N*）（整点即横坐标与纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）（理）设，求S_n的最小值（n＞1，n∈N*）；
（3）设求证：≥．
（文）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且．若对一切的正整数n，总有T_n≤m，求实数m的取值范围．

Answer

（1）由题设知Dn内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，由y1=2n，y2=n，知an=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）由．知．所以≥．
（ii）=）≥=．
（文）由题设知Tn=．Tn+1-Tn=-=，n≥3时{Tn}是递减数列，且，所以T2，T3是数列{Tn}的最大项，故m≥．
【解析】
（1）∵x＞0，y=3n-nx＞0，0＜x＜3，x=1或x=2．
∴Dn内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，
∴y1=2n，y2=n．∴an=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）．
∵．
∴Sn+1＞Sn，Sn≥S2（n＞1，n∈N*）．
∵≥．

（ii）==）
≥=．
（文）∵Sn=3（1+2+3+…+n）=，∴Tn=．
∴Tn+1-Tn=-=，∴当n≥3时，Tn+1＜Tn，∴n≥3时{Tn}是递减数列，且，∴T2，T3是数列{Tn}的最大项，故m≥