Question

如图，棱长为1的正四面体ABCD中，E、F分别是棱AD、CD的中点，O是点A在平面BCD内的射影．
（Ⅰ）求直线EF与直线BC所成角的大小；
（Ⅱ）求点O到平面ACD的距离；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大小．

Answer

（I）因为E、F分别是棱AD、CD的中点所以EF∥AC，然后利用三角形解出异面直线所成的角的大小；
（II）因为△ACD，△BCD均为正三角形且点F为中点，所以CD⊥面AFB，利用面面垂直得到面AFB⊥面ACD，因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，所以点O必在正三角形BCD的中线BF，上过O做OG⊥AF，利用△AOF∽△OGF，求出点O到平面ACD的距离OG；
（III）利用条件作出EK∥AO，利用已知的线面垂直得到作出的直线垂直与平面BCD，利用二面角的平面角的定义，在三角形中求出二面角的大小．
【解析】
（Ⅰ）因为E、F分别是棱AD、CD的中点，
所以EF∥AC．
所以∠BCA是EF与BC所成角．
∵正四面体ABCD，∴△ABC为正三角形，
所以∠BCA=60°．
即EF与BC所成角的大小是60°．
（II）如图，连接AO，AF，
因为F是CD的中点，
且△ACD，△BCD均为正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD．
因为BF∩AF=F，
所以CD⊥面AFB．
因为CD⊂在ACD，
所以面AFB⊥面ACD．
因为ABCD是正四面体，且O是点A在面BCD内的射影，
所以点O必在正三角形BCD的中线BF上，
在面ABF中，过O做OG⊥AF，垂足为G，
所以OG⊥在ACD．
即OG的长为点O到面ACD的距离．
因为正四面体ABCD的棱长为1，
在△ABF中，容易求出AF=BF=，OF=，AO=，
因为利用相似比易求出OG=．
所以点O到平面ACD的距离是．
（Ⅲ）连接OD，设OD的中点为K，连EK，
则EK∥AO．
因为AO⊥面BCD，
所以EK⊥面BCD．
在平在BCD内，过点K作KN∥CD，KN交BF
于M，交BC于N，
因为BF⊥CD，
所以KN⊥BF．
连接EM，
所以EM⊥BF．
所以∠NME是所求二面角的平面角．
因为EK=CH=，
MK=ED=AD=，
所以．
所以．
所以所求二面角的大小为．