Question

设d为非零实数，
（Ⅰ）写出a₁，a₂，a₃并判断﹛a_n﹜是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；
（Ⅱ）设b_n=nda_n（n∈N*），求数列﹛b_n﹜的前n项和S_n．

Answer

本题考查的是数列求和问题，在解答时：
（Ⅰ）根据条件直接代入n值计算即可获得a1、a2、a3的值．然后利用，当n≥2，k≥1时，，对数列通向进行化简可得an=d（d+1）n-1，进而分类讨论问题即可获得解答；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：an=d（d+1）n-1，进而可计算bn，结合bn的特点可利用成公比错位相减法进行求解，注意分类讨论即可获得问题的解答．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知：a1=d，a2=d（1+d），a3=d（1+d）2，
当n≥2，k≥1时，，
∴
=d（Cn-1d+Cn-11d1+Cn-12d2+…+Cn-1n-1dn-1）
=d（d+1）n-1．
所以，当d≠-1时，{an}是以d为首项，d+1为公比的等比数列．
当d=-1时，a1=-1，an=0（n≥2），此时{an}不是等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：an=d（d+1）n-1，
∴bn=nd2（d+1）n-1=d2n（d+1）n-1，
∴Sn=d2[1•（d+1）+2•（d+1）1+3•（d+1）2+…+（n-1）•（d+1）n-2+n•（d+1）n-1]，
当d=-1时，Sn=d2=1
当d≠-1时，
（d+1）Sn=d2[1•（d+1）1+2•（d+1）2+3•（d+1）3+…+（n-1）•（d+1）n-1+n•（d+1）n]，
∴-dSn=d2[1+（d+1）+（d+1）2+（d+1）3+…+（d+1）n-1-n（d+1）n]，
∴Sn=（d+1）n（nd-1）+1．
综上可知：Sn=（d+1）n（nd-1）+1，n∈N*．