Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（I）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（II）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值；M为AB中点，在线段CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先将三视图还原实物图，以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，=0与=0得到BN⊥NB1，BN⊥B1C1，而NB1与B1C1相交于B1，满足线面垂直的判定定理；
（2）先求平面C1B1N的一个法向量和平面NCB1的一个法向量，然后利用向量的夹角公式求出两法向量夹角的余弦值，
根据图可知，所求二面角为锐角，从而得到二面角C-NB1-C1的余弦值；
（3）先设出点P的坐标，从而表示出，然后根据MP∥平面CNB1，则与平面NCB1的一个法向量垂直建立等式关系，即可求出点P，最后再求出BP的长即可．
（1）证明∵该几何体的正视图为矩形，左视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．以BA，BB1，BC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）
则B（0，0，0），N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）

∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
=（4，4，0）•（0，0，4）=0（3分）
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1．
又NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N．（5分）
（2）∵BN⊥平面C1B1N，是平面C1B1N的一个法向量=（4，4，0），（6分）
设=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，
则⇒⇒，
取=（1，1，2），（8分）
则
由图可知，所求二面角为锐角，
所以，所求二面角C-NB1-C1的余弦值为．（10分）
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）（0≤a≤4）为BC上一点，则=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB1，
∴⊥⇒•=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0⇒a=1．（13分）
∴在CB上存在一点P（0，0，1），使得MP∥平面CNB1，且BP=1（14分）