Question

如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；
（Ⅲ）求平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）证明直线与平面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直．在这个“折叠问题”中，要把握好不变的长度关系、线线关系、线面关系，比如：AB=3，BC=4，AC=5，所以AB⊥BC；四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1．
（Ⅱ）本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．因为AB⊥平面BCC1B1，所以AB为四棱锥A-BCQP的高，并且四边形BCQP为直角梯形．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．以B为原点，分别以BC、BB1、BA为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（Ⅰ）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，
所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．（2分）
因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，
所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1．（5分）
（Ⅱ）【解析】
因为AB⊥平面BCC1B1，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为．
所以四棱锥A-BCQP的体积．（9分）
（Ⅲ）【解析】
由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，AB，BC，BB1两两互相垂直．以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，

则A（0，0，3），B（0，0，0），C（4，0，0），P（0，3，0），Q（4，7，0），
所以，，
设平面PQA的一个法向量为n1=（x，y，z）．
则即
令x=-1，则y=z=1．
所以n1=（-1，1，1）．（12分）
显然平面BCA的一个法向量为n2=（0，1，0）．
设平面PQA与平面BCA所成锐二面角为θ．
则．
所以平面PQA与平面BCA所成锐二面角的余弦值为．（14分）