Question

已知数列{x_n}满足x₁=4，．
（Ⅰ）求证：x_n＞3；
（Ⅱ）求证：x_n+1＜x_n；
（Ⅲ）求数列{x_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）结合题设条件，利用数学归纳法进行证明．
（Ⅱ）．由xn＞3，知xn+1＜xn．
（Ⅲ），，由题题条件能导出an=2n-1．由，得．从而得到．
【解析】

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明
①当n=1时，x1=4＞3．所以结论成立．
②假设n=k（n≥1）时结论成立，即xn＞3，则．
所以xn+1＞3．
即n=k+1时，结论成立．
由①②可知对任意的正整数n，都有xn＞3．（4分）
（Ⅱ）证明：．
因为xn＞3，所以，即xn+1-xn＜0．
所以xn+1＜xn．（9分）
（Ⅲ）【解析】
，，
所以．
又，
所以．（11分）
又，
令，则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．
所以an=2n-1．
由，得．
所以．（14分）