Question

已知函数f（x）=（1-t）ln（x-1）+，且t＞1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设f（x）的最小值为u（t），∀t∈（1，+∞），求u（t）的最大值．

Answer

（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（2）先求出f（x）的最小值为函数u（t），然后利用导数研究函数u（t）在区间（1，+∞）上的最值即可．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（1，+∞）
且f'（x）=，
当x∈（1，t）时，f'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0
∴f（x）减区间为（1，t），增区间为（t，+∞）；
（2）由（1）知，f（x）min=f（t）=（1-t）ln（t-1）+2t=u（t）
u'（x）=1-ln（t-1），令u'（t）=0，得t=e+1
当t∈（1，e+1）时，u'（t）＞0，u（t）递增；
当t∈（e+1，+∞）时，u'（t）＜0，u（t）递减；
∴u（t）max=u（e+1）=e+2