Question

已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点P（0，p）的直线l与抛物线相交于A、B两点，分别过点A、B作抛物线的两条切线l₁和l₂，记l₁和l₂相交于点M．
（Ⅰ）证明：直线l₁和l₂的斜率之积为定值；
（Ⅱ）求点M的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，将其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0．设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=-2p2，将抛物线的方程改写为，求导得．由此能够证明直线l1和l2的斜率之积为定值；
（Ⅱ）设M（x，y）．因为直线l1的方程为y-y1=k1（x-x1），即，同理，直线l2的方程为，
联立这两个方程，消去y得，由此能够求出点M的轨迹方程．
【解析】

（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+p，
将其代入x2=2py，消去y整理得x2-2pkx-2p2=0（2分）
设A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=-2p2（3分）
将抛物线的方程改写为，求导得．
所以过点A的切线l1的斜率是，过点B的切线l2的斜率是，
故，所以直线l1和l2的斜率之积为定值-2（6分）

（Ⅱ）【解析】
设M（x，y）．因为直线l1的方程为y-y1=k1（x-x1），即，
同理，直线l2的方程为，
联立这两个方程，消去y得，
整理得，注意到x1≠x2，所以（10分）
此时（12分）
由（Ⅰ）知，x1+x2=2pk，所以，
所以点M的轨迹方程是：y=-p．（14分）