Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）设不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，求实数a的取值范围；
（3）设n∈N^*，证明：．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，求出极值点为x=0，f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增，则当x=0时，f（x）取得最小值
（2）由{x|0≤x≤2}⊆P可知将题目转化成f（x）＞ax在（0，2）上恒成立，利用参数分离法变形为，求出的最小值即可
（3）由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有ex-x≥1，即1+x≤ex．令便可得到不等关系，将n项求和可得结论．
（Ⅰ）【解析】
f（x）的导数f'（x）=ex-1．
令f'（x）＞0，解得x＞0；令f'（x）＜0，解得x＜0．
从而f（x）在（-∞，0）内单调递减，在（0，+∞）内单调递增．
所以，当x=0时，f（x）取得最小值1．
（Ⅱ）【解析】
因为不等式f（x）＞ax的解集为P，且{x|0≤x≤2}⊆P，所以对于任意x∈[0，2]，不等式f（x）＞ax恒成立．
由f（x）＞ax，得（a+1）x＜ex．
当x=0时，上述不等式显然成立，故只需考虑x∈（0，2]的情况．
将（a+1）x＜ex变形为，
令，则g（x）的导数，
令g'（x）＞0，解得x＞1；令g'（x）＜0，解得x＜1．
从而g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，2）内单调递增．
当x=1时，g（x）取得最小值e-1，
实数a的取值范围是（-∞，e-1）．
（Ⅲ）证明：
由（Ⅰ）得，对于任意x∈R，都有ex-x≥1，即1+x≤ex．
令，则．∴（i=1，2，，n-1），
即（i=1，2，，n-1）．∴．∵，∴．