Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处有极值，f（x）在x=2处的切线l不过第四象限且倾斜角为，坐标原点到切线l的距离为．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求函数上的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）先求出函数的导函数，再根据在x=1处有极值得到f'（1）=0，而f（x）在x=2处的切线l的倾斜角为得到f'（2）=1，建立两个等式关系解之即可；
（Ⅱ）先求出上的极值，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b．
∵x=1时f（x）有极值，∴f′（1）=3+2a+b=0．①
∵f（x）在x=2处的切线l的倾斜角为，
∴②
由①②可解得a=-4，b=5．（4分）
设切线l的方程为y=x+m，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为，可得m=±1，
又切线不过第四象限，所以m=1，切线方程为y=x+1．（6分）
∴切点坐标为（2，3），∴f（2）=8-16+10+c=3，所以c=1．
故a=-4，b=5，c=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x3-4x2+5x+1，f′（x）=3x2-8x+5=（x-1）（3x-5）．
∵，∴函数f（x）在区间[-1，1]上递增，在上递减，（9分）
又，（12分）
∴f（x）在区间上的最大值为3，最小值为-9．（13分）