Question

已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A，C上顶点为B，过F，B，C三点作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）若椭圆的离心率，求⊙P的方程；
（2）若⊙P的圆心在直线x+y=0上，求椭圆的方程．

Answer

（1）根据椭圆的离心率和长半轴求得半焦距c，进而求得b，进而可求得B，F，C的坐标，设出圆P的方程，把三点坐标代入后联立求得m，n和r，则所求圆的方程可得．
（2））根据⊙P过点F，B，C三点，可推断出圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，进而根据题意表示出FC和BC的垂直平分线方程联立后求得交点即圆心的坐标表达式，代入直线方程x+y=0求得b，则椭圆的方程可得．
【解析】
（1）当时，∵a=1，∴，
∴，b=，
点，，C（1，0）
设⊙P的方程为（x-m）2+（y-n）2=r2，
由⊙P过点F，B，C得
∴①②（1-m）2+n2=r2③
由①②③联立解得：，，-
∴所求的⊙P的方程为
（2）∵⊙P过点F，B，C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，
也在BC的垂直平分线上，FC的垂直平分线方程为④
∵BC的中点为，kBC=-b
∴BC的垂直平分线方程为⑤
由④⑤得，即（
∵P（m，n）在直线x+y=0上，∴⇒（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0∴b=c，由b2=1-c2得
∴椭圆的方程为x2+2y2=1