Question

已知函数f（x）=x⁴+2x²-4，g（x）=ax²-8（a∈R）．
（1）求函数f（x）的极值．
（2）若对任意的x∈（0，+∞）都有f（x）-g（x）≥0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．
（2）转化为恒成立问题，求在x∈（0，+∞）上的最小值即可．
【解析】
（1）f'（x）=4x3+4x=4x（x2+1），令f'（x）=0，解得：x=0．
∴当x＞0时f'（x）＞0；当x＜0时f'（x）＜0．
∴当x=0时f（x）取得极小值为-4．
（2）由f（x）-g（x）≥0，得，
∵
∴a≤h（x）min=6．