Question

2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是且x≤12），该商品的进价q（x）元与月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）．
（1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式；
（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元？

Answer

（1）由题意可得，第x个月的需求量等于第x个月的需求总量减去第x-1个月的需求总量，故当x=1时，f（1）=p（1），当2≤x≤12时，f（x）=p（x）-P（x-1）；
（2）根据月利润=该商品每件的利润×月销售量，列出关系式，再利用导数求最值求解即可．
【解析】
（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37．（2分）
当2≤x≤12时，且x≤12）（5分）
验证x=1符合f（x）=-3x2+40x，∴f（x）=-3x2+40x（x∈N*且x≤12）．（7分）
（2）该商场预计销售该商品的月利润为g（x）=（-3x2+40x）（185-150-2x）=6x3-185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），
令h（x）=6x3-185x2+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x2-370x+1400，令h'（x）=0，解得（舍去）．（10分）
当1≤x＜5时，h'（x）＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0．
∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．（12分）
∴当x=5时，g（x）max=g（5）=3125（元）．
综上，5月份的月利润最大是3125元．（14分）