Question

设函数f（x）=lnx-ax+1，其中a为常数．
（1）求函数f（x）的单调区间．
（2）求证：．

Answer

（1）因为f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），，再结合a的符号，由导数的性质求函数的单调区间．
（2）当a=1，x=1时，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，所以当x＞0时，lnx-x+1≤0，即当x＞0时，lnx≤x-1．由此入手能够证明．
【解析】
（1）因为f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），，
①当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②当a＞0时，令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．
故当a＞0时，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．
（2）当a=1时，由（1）知，当x=1时，f（x）=lnx-x+1取得最大值f（1）=0，
所以当x＞0时，lnx-x+1≤0，即当x＞0时，lnx≤x-1．
因为n∈N，n≥2，所以lnn2≤n2-1，所以，即，
所以===．