Question

设正整数数列{a_n}满足：a₂=4，且对于任何n∈N^*，有2+；
（1）求a₁，a₃；（2）求数列{a_n}的通项a_n．

Answer

（1）令n=1，根据2+可得到，再由a1为正整数可得到a1的值，当n=2时同样根据2+可得到2+进而可得到a3的范围，最后根据数列{an}是正整数数列求出a3的值．
（2）先根据a1=1，a2=4，a3=9可猜想an=n2，再用数学归纳法证明．
【解析】
（1）据条件得2+①
当n=1时，由，即有2+＜，
解得．因为a1为正整数，故a1=1．
当n=2时，由2+，解得8＜a3＜10，所以a3=9．
（2）由a1=1，a2=4，a3=9，猜想：an=n2．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1，2时，由（1）知an=n2均成立；
②假设n=k（k≥2）成立，则ak=k2，则n=k+1时
由（1）得2+
∴
，
即
∴
因为k≥2时，（k3+1）-（k+1）2=k（k+1）（k-2）≥0，所以．
k-1≥1，所以．又ak+1∈N*，所以（k+1）2≤ak+1≤（k+1）2．
故ak+1=（k+1）2，即n=k+1时，an=n2成立．由1°，2°知，对任意n∈N*，
an=n2．