Question

数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（n²+n-λ）a_n（n=1，2，…），λ是常数．
（1）当a₂=-1时，求λ及a₃的值；
（2）数列{a_n}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．

Answer

（1）利用a2的值列出关于λ的方程是解决本题的关键，求出λ的值，再根据a2的值计算出a3的值；
（2）先假设数列{an}可能为等差数列，利用该数列的前3项成等差数列，得出关于λ的方程，确定出λ的值，考查数列后面的项是否满足等差数列，从而肯定或者否定假设．
【解析】
（1）由于an+1=（n2+n-λ）an（n=1，2，…），且a1=1，
所以当a2=-1时，得-1=2-λ，
故λ=3．从而a3=（22+2-3）×（-1）=-3．
（2）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：
由a1=1，an+1=（n2+n-λ）an，得
a2=2-λ，a3=（6-λ）（2-λ），a4=（12-λ）（6-λ）（2-λ）．
若存在λ，使{an}为等差数列，则a3-a2=a2-a1，
即（5-λ）（2-λ）=1-λ，解得λ=3．
于是a2-a1=1-λ=-2，
a4-a3=（11-λ）（6-λ）（2-λ）=-24．
这与{an}为等差数列矛盾．
所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．