Question

如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足，．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，，，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

Answer

（1）要证明EB⊥FD，我们可以转化为证明EB⊥平面BDF，由，，我们易得△EBF为直角三角形，即EB⊥BF，又由E是半圆的中点，则其圆心角∠EBD=90°，结合线面垂直的判断定理和定义，不难给出结论．
（2）要求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值，关键是要根据二面角的定义，先求出二面角的平面角，根据（1）的结论和已知我们可得DG⊥平面BDF，DG⊥DR，DG⊥DQ，即∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角，解三角形RDB即可得到结论．
（1）证明：连接CF，因为是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，所以EB⊥AC．
在RT△BCE中，．
在△BDF中，，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．
在△CEF中，，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．
因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，
而EB⊂平面BED，∴CF⊥EB．
因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，
而FD⊂平面BDF，∴EB⊥FD．
（2）【解析】
设平面BED与平面RQD的交线为DG．
由，，知QR∥EB．
而EB⊂平面BDE，∴QR∥平面BDE，
而平面BDE∩平面RQD=DG，
∴QR∥DG∥EB．
由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，
而DR，DB⊂平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，
∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt△BCF中，，，．
在△BDR中，由知，，
由余弦定理得，=
由正弦定理得，，即，．
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．