Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点，证明：PC⊥平面BEF．

Answer

以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，欲证PC⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证PC与平面BEF内两相交直线垂直，而利用空间向量可求得PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，满足定理条件．
【解析】
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP=AB=2，BC=AD=2，四边形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）
又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E（0，，0），F（1，，1）．
∴=（2，2，-2），=（-1，，1），=（1，0，1），
∴•=-2+4-2=0，•=2+0-2=0，
∴⊥，⊥，
∴PC⊥BF，PC⊥EF，BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF