Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设．
①当λ=1时，求直线m的方程；
②当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求λ的值．

Answer

（1）设出M的坐标，根据题意可知|MF|=|y+2|-1利用两点间的距离公式建立等式整理求得x和y的关系式，即M的轨迹方程．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，进而设直线m的方程，代入抛物线的方程，整理后利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，①利用λ=1判断出P是AB的中点，进而求得k，则直线的方程可得．
②分别利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式表示出|AB|和0到直线m的距离，表示出三角形的面积，根据面积为求得k，进而利用k求得x1x2，进而利用λ的表达式求得λ．
【解析】
（1）设M（x，y），则由题设得|MF|=|y+2|-1，
即=|y+2|-1
当y≥-2时，，化简得x2=4y；
当y＜-2时，=-y-3，
化简得x2=8y+8与y＜-3不合
故点M的轨迹C的方程是x2=4y
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x2=4y得x2-4kx+8（k-1）=0（☆）
△=16（k2-2k+2）＞0对k∈R恒成立，所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点
设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k-1）
①由，且λ=1得点P是弦AB的中点，
∴x1+x2=4，则4k=4，得k=1
∴直线m的方程是x-y=0
②∵|AB|=
点O到直线m的距离d=，
∴S△ABO=
∵S△ABO=4，∴，
∴（k-1）4+（k-1）2-2=0，（k-1）2=1或（k-1）2=-2（舍去）
∴k=0或k=2
当k=0时，方程（☆）的解为±2
若x1=2，则
若x1=-2，则
当k=2时，方程（☆）的解为4±2
若x1=4+2，则
若x1=4-2，则
所以，λ=3+2或