Question

设动点P到点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离分别为d₁和d₂，∠F₁PF₂=2θ，且存在常数λ（0＜λ＜1），使得d₁d₂sin²θ=λ．
（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）如图，过点F₂的直线与双曲线C的右支交于A，B两点．问：是否存在λ，使△F₁AB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）在△PF1F2中，利用余弦定理得出d1-d2是一个常数，从而动点P的轨迹C是以F1，F2为焦点的双曲线，最后求出双曲线的方程即可；
（2）在△AF1B中，设|AF1|=d1，|AF2|=d2，|BF1|=d3，|BF2|=d4．对于存在性问题，可先假设存在，即假设△AF1B为等腰直角三角形，再利用方程组，求出λ的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）在△PF1F2中，
|F1F2|=24=d12+d22-2d1d2cos2θ=（d1-d2）2+4d1d2sin2θ
（d1-d2）2=4-4λ
∴（小于2的常数）
故动点P的轨迹C是以F1，F2为焦点，实轴长的双曲线．
方程为．
（2）在△AF1B中，设|AF1|=d1，|AF2|=d2，|BF1|=d3，|BF2|=d4．
假设△AF1B为等腰直角三角形，则
由②与③得d2=2a，
则
由⑤得d3d4=2λ，，，
故存在满足题设条件．