Question

已知f（x）是R上的偶函数，且f（1）=0，g（x）是R上的奇函数，且对于x∈R，都有g（x）=f（x-1），则f（2009）的值是（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

Answer

由题设知f（1）=f（-1）=0，由g（x）=f（x-1），知g（2）=f（1）=0，g（0）=f（-1）=0．再由g（x）是奇函数，知g（-2）=0，f（-3）=0，g（4）=f（3）=0．由此知f（x）为周期是2的函数，从而能求出f（2009）．
【解析】
由题意，f（x）是偶函数．f（1）=f（-1）=0．
又g（x）=f（x-1），故g（2）=f（1）=0，g（0）=f（-1）=0．
g（x）是奇函数，g（-2）=0，故f（-3）=0，g（4）=f（3）=0
综上，f（-3）=f（-1）=f（1）=f（3）=0．即f（x）为周期是2的函数，
f（2009）=f（2009-1004×2）=f（1）=0．
故选A．