Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：为自然对数的底数）

Answer

（1）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（2）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（3）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x2）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．
【解析】
（1）∵，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵
①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若得，当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
再令f'（x）＜0，可得
∴上单调递增，
在
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，上单调递增上单调递减；
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+）（1+）…（1+）]=ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）
＜++…+==（1-）＜，∴（1+）（1+）…（1+）＜=