Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是底面边长为1的正四棱柱，高AA₁=2，求
（1）异面直线BD 与AB₁ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）四面体AB₁D₁C 的体积．

Answer

（1）根据题意知DC1∥AB1∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1 所成角，解三角形即可求得结果．
（2）VA-B1D1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1，
而VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1易求，即可求得四面体AB1D1C 的体积．
【解析】
（1）连接DC1，BC1，
易知DC1∥AB1，
∴∠BDC1就是异面直线BD 与AB1 所成角，
在△BDC1中，DC1=BC1=，BD=，
∴cos∠BDC1=，
∴∠BDC1=aeccos．

（2）VA-B1D1C=VABCD-A1B1C1D1-VB1-ABC-VD1-ACD-VDA1C1D1-VB-A1B1C1
而VABCD-A1B1C1D1=sABCD•AA1=1×2=2，
VB1-ABC=VD1-ACD=VDA1C1D1=VB-A1B1C1=
∴VA-B1D1C═2-4×=．