Question

已知：四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1．
（Ⅰ）求证：BC∥平面PAD；
（Ⅱ）若E、F分别为PB、AD的中点，求证：EF⊥平面PBC；
（Ⅲ）求二面角B-PA-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）欲证BC∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC与平面PAD内一直线平行，而BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，满足定理所需的条件；
（Ⅱ）欲证EF⊥平面PBC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证EF与平面PBC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知BC⊥EF，根据等腰三角形可知EF⊥PC，PC∩BC=C，满足定理所需的条件；
（Ⅲ）设PA的中点为M，连接MC，MC⊥PA，ME⊥PA，则∠EMC为所求二面角的平面角，在△MEC中，求出三边，然后利用余弦定理进行求解即可．
（Ⅰ）【解析】
因为ABCD是正方形，所以BC∥AD．
因为AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
所以BC∥平面PAD．（4分）
（Ⅱ）证明：因为PD⊥底面ABCD，
且ABCD是正方形，所以PC⊥BC．
设BC的中点为G，
连接EG，FG，则EG∥PC，FG∥DC．
所以BC⊥EG，BC⊥FG．
因为EG∩FG=G，所以BC⊥面EFG．因为EF⊂面EFG，
所以BC⊥EF．①（6分）
又设PC的中点为H，且E为PB中点，连接DH，
所以EHBC．又BCAD，且EHAD．
所以四边形EHDF是平行四边形．
所以EF∥DH．
因为等腰直角△PDC中，H为底边PC的中点，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC．②
因为PC∩BC=C，③
由①②③知EF⊥平面PBC．（8分）
（②的证明也可以通过连接PF、FB，由△PFB为等腰三角形证明）
（Ⅲ）【解析】
设PA的中点为M，连接MC，
依条件可知△PAC中PC=AC，
所以MC⊥PA．①
又PD⊥平面ABCD，∠BAD=90°，
所以AB⊥PA．
因为M、E均为中点，
所以ME∥AB．
所以ME⊥PA．②
由①②知∠EMC为所求二面角的平面角．（11分）
连接EC，在△MEC中，容易求出ME=，MC=，EC=．
所以cos∠EMC==，即所求二面角的余弦值是．（13分）