Question

设{a_n}是各项为正数的无穷数列，A_i是边长为a_i，a_i+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{A_n}为等比数列的充要条件是（ ）
A．{a_n}是等比数列
B．a₁，a₃，…，a_2n-1，…或a₂，a₄，…，a_2n，…是等比数列
C．a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列
D．a₁，a₃，…，a_2n-1，…和a₂，a₄，…，a_2n，…均是等比数列，且公比相同

Answer

根据题意可表示Ai，先看必要性，{An}为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．
【解析】
依题意可知Ai=ai•ai+1，
∴Ai+1=ai+1•ai+2，
若{An}为等比数列则==q（q为常数），则a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；
反之要想{An}为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；
故{An}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．
故选D