Question

已知数列{a_n}和{b_n}的通项公式分别为a_n=3n+6，b_n=2n+7（n∈N^*）．将集合{x|x=a_n，n∈N^*}∪{x|x=b_n，n∈N^*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c₁，c₂，c₃，…，c_n，…
（1）写出c₁，c₂，c₃，c₄；
（2）求证：在数列{c_n}中，但不在数列{b_n}中的项恰为a₂，a₄，…，a_2n，…；
（3）求数列{c_n}的通项公式．

Answer

（1）利用两个数列的通项公式求出前3项，按从小到大挑出4项．
（2）对于数列{an}，对n从奇数与偶数进行分类讨论，判断是否能写成2n+7的形式．
（3）对{an}中的n从从奇数与偶数进行分类讨论，对{bn}中的n从被3除的情况分类讨论，判断项的大小，求出数列的通项．
【解析】
（1）a1=3×1+6=9；     a2=3×2+6=12              a3=3×3+6=15
b1=2×1+7=9               b2=2×2+7=11             b3=2×3+7=13 
∴c1=9；c2=11；c3=12；c4=13
（2）解对于an=3n+6，
当n为奇数时，设为n=2k+1
则3n+6=2（3k+1）+7∈{bn}
当n为偶数时，设n=2k则3n+6=6k-1+7不属于{bn}
∴在数列{cn}中，但不在数列{bn}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；
（3）b3k-2=2（3k-2）+7=a2k-1
b3k-1=6k+5 
a2k=6k+6
b3k=6k+7
∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7
∴当k=1时，依次有b1=a1=c1，b2=c2，a2=c3，b3=c4…
∴