Question

如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面体ABCD的体积；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值．

Answer

法一：几何法，
（Ⅰ）过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性质，可得DF是四面体ABCD的面ABC上的高；设G为边CD的中点，可得AG⊥CD，计算可得AG与DF的长，进而可得S△ABC，由棱锥体积公式，计算可得答案；
（Ⅱ）过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，分析可得∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，计算可得EF的长，由（Ⅰ）中DF的值，结合正切的定义，可得答案．
法二：向量法，
（Ⅰ）首先建立坐标系，根据题意，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；易知OH⊥OM，因此可以以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O-XYZ，进而可得B、D的坐标；从而可得△ACD边AC的高即棱住的高与底面的面积，计算可得答案；
（Ⅱ）设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量的坐标，同时易得=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夹角公式可得从而cos＜，＞，进而由同角三角函数的基本关系，可得tan＜，＞，即可得答案．
【解析】
法一
（Ⅰ）如图：过D作DF⊥AC，垂足为F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高；
设G为边CD的中点，由AC=AD，可得AG⊥CD，
则AG===；
由S△ADC=AC•DF=CD•AG可得，DF==；
在Rt△ABC中，AB==，
S△ABC=AB•BC=；
故四面体的体积V=×S△ABC×DF=；
（Ⅱ）如图，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂线定理可得DE⊥AB，故∠DEF为二面角C-AB-D的平面角，
在Rt△AFD中，AF===；
在Rt△ABC中，EF∥BC，从而，可得EF=；
在Rt△DEF中，tan∠DEF==．
则二面角C-AB-D的平面角的正切值为．
解法二：（Ⅰ）如图（2）
设O是AC的中点，过O作OH⊥AB，交AB与H，过O作OM⊥AC，交AD与M；
由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，
因此以O为原点，以射线OH、OC、OM为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系O-XYZ，
已知AC=2，故A、C的坐标分别为A（0，-1，0），C（0，1，0）；
设点B的坐标为（x1，y1，0），由⊥，||=1；
有，
解可得或（舍）；
即B的坐标为（，，0），
又舍D的坐标为（0，y2，z2），
由||=1，||=2，有（y2-1）2+z22=1且（y2+1）2+z22=1；
解可得或（舍），
则D的坐标为（0，，），
从而可得△ACD边AC的高为h=|z2|=
又||=，||=1；
故四面体的体积V=××||×||h=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（，，0），=（0，，），
设非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，则由⊥可得，l+m=0，（1）；
由⊥可得，m+n=0，（2）；
取m=-1，由（1）（2）可得，l=，n=，即=（，-1，）
显然=（0，0，1）是平面ABC的法向量，
从而cos＜，＞=；
故tan＜，＞=；
则二面角C-AB-D的平面角的正切值为．