Question

如图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是x=2
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：=+2，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-，
问：是否存在定点F，使得|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ） 由题意得 =，==2，解出a、b 的值，即得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）． 由向量间的关系得到 x=x1+2x2，y=y1+2y2，据M、N是椭圆上的点可得 x2+2y2=20+4（x1x2+2y1y2 ）．再根据直线OM与ON的斜率之积为-，得到点P是椭圆 x2+2y2=20 上的点，根据椭圆的第二定义，存在点F（，0），满足条件．
【解析】
（Ⅰ） 由题意得 =，==2，∴a=2，b=，
故椭圆的标准方程  +=1．
（Ⅱ）设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ）．∵动点P满足：=+2，
∴（x，y）=（x1+2x2，y1+2y2  ），∴x=x1+2x2，y=y1+2y2，
∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12-4=0，x22+2y22-4=0．
∴x2+2y2=（x1+2x2）2+2 （y1+2y2）2=（x12+2y12 ）+4（x22+2y22 ）+4（x1x2+2y1y2 ）
=4+4×4+4（x1x2+2y1y2 ）=20+4（x1x2+2y1y2 ）．
∵直线OM与ON的斜率之积为-，∴•=-，∴x2+2y2=20，
故点P是椭圆  =1 上的点，焦点F（，0），准线l：x=2，离心率为，
根据椭圆的第二定义，|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值，
故存在点F（，0），满足|PF|与点P到直线l：x=2的距离之比为定值．